মেধা ঘর

ত্রিকোণমিতির মৌলিক সূত্রানুসারে, $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$। তাই, $\sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta} = 1$।

আমরা জানি, $\tan \theta$ এবং $\cot \theta$ পরস্পরের বিপরীত, তাই $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$। সুতরাং, $1 + 1 = 2$।

বীজগণিতের সূত্র $a^2 - b^2$ প্রয়োগ করে পাই, $(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$।

আমরা জানি, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$। অর্থাৎ, $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$। সুতরাং, $\sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব $2$ এবং অতিভুজ $5$ হলে, ভূমি $= \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}$। সুতরাং, $\cot \theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{লম্ব}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$। (ছবিতে থাকা ত্রুটি সংশোধন করা হয়েছে)।

আমরা জানি, $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$। সুতরাং, $5 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান অনুযায়ী $\sin 0^{\circ} = 0$।

আমরা জানি, $\cot 60^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$। মান বসিয়ে পাই, $\frac{1 - 1/3}{1 + 1/3} = \frac{2/3}{4/3} = \frac{1}{2}$।

আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$। সুতরাং, $(1 - \sin^2 \theta) - \sin^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta$।

আমরা জানি, $\text{cosec } (90^{\circ} - \theta) = \sec \theta$। অর্থাৎ, $\sec \theta = 2$, তাই $\cos \theta = 1/2$।

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই, $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1^2 \Rightarrow 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 \Rightarrow \sin \theta \cos \theta = 0$।

ভূমি ১ এবং অতিভুজ ২ হলে, লম্ব $\sqrt{3}$। সুতরাং $\cot \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

প্রশ্নে $\cos 3A = 0$ দেওয়া আছে। আমরা জানি $\cos 90^{\circ} = 0$, তাই $3A = 90^{\circ}$, অর্থাৎ $A = 30^{\circ}$।

$\cot 60^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$। সুতরাং $\theta - 30^{\circ} = 60^{\circ} \Rightarrow \theta = 90^{\circ}$। অর্থাৎ $\sin 90^{\circ} = 1$।

এখানে অতিভুজ = $a$, লম্ব = $b$। ভূমি = $\sqrt{a^2-b^2}$। সুতরাং, $\tan A = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{b}{\sqrt{a^2-b^2}}$।

অতিভুজ = 5, ভূমি = 4 হলে লম্ব = 3। সুতরাং $\tan A = \frac{3}{4}$।

লম্ব = 4, ভূমি = 5 হলে অতিভুজ = $\sqrt{4^2+5^2} = \sqrt{41}$। (সংশোধিত গণনা অনুযায়ী মান বের করতে হবে)।

আমরা জানি, $\text{cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$। সুতরাং, $\sin \theta \times \cot \theta = \sin \theta \times \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cos \theta$।

আমরা জানি, $\cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta - 1$। সুতরাং, $\cot \theta = \sqrt{x^2-1}$।

আমরা জানি, $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$। এখানে $a=\tan \theta, b=\cot \theta$। সুতরাং, $(3)^2 + 4(1) = 13$। অর্থাৎ $\sqrt{13}$।