মেধা ঘর

যে সেটের কোনো উপাদান নেই তাকে ফাঁকা সেট বা শূন্য সেট বলে। ফাঁকা সেটকে $\{\}$ বা $\varnothing$ (ওরি) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সংখ্যা নির্দেশক প্রতীক এবং প্রক্রিয়া চিহ্ন ($+, -, \times, \div$) এর অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বলা হয়। এখানে $2a + 3b \div c$ একটি বীজগাণিতিক রাশি।

প্রদত্ত রাশিটিতে ব্যবহৃত অক্ষর প্রতীকগুলো হলো $a, b, c$। সুতরাং এখানে মোট ৩টি অক্ষর প্রতীক রয়েছে।

$x^3 = 64 \Rightarrow x^3 = 4^3 \Rightarrow x = 4$।

আমরা জানি, অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ অথবা $x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy$। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে খ নম্বরটি সঠিক।

$\frac{1-x^2}{1-x} = \frac{(1-x)(1+x)}{1-x} = 1+x$।

$(x-3y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 - 6xy + 9y^2$।

$(x-7)(x-5) = x(x-5) - 7(x-5) = x^2 - 5x - 7x + 35 = x^2 - 12x + 35$।

ধাপে ধাপে বন্ধনী অপসারণ করে পাই: $x - [x - \{x - x - 1\}] = x - [x - \{-1\}] = x - [x + 1] = x - x - 1 = -1$। লক্ষ্য করুন: ছবিতে সঠিক উত্তর খ ($1$) বা গ ($x+1$) দাগানো থাকলেও মূল গাণিতিক হিসাব অনুযায়ী সঠিক মান হয় $-1$।

সরলীকরণ: $a - [a - \{a - a + 1\}] = a - [a - 1] = a - a + 1 = 1$। বইয়ের অপশনে ভুলবশত '2a-1' দাগানো থাকলেও সঠিক উত্তর হবে $1$ (গ)।

আমরা জানি, $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$। অতএব, $\frac{1}{2}(4ab) = 2ab$।

আমরা জানি, $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$। অতএব, $\frac{1}{2} \cdot 2(a^2+b^2) = a^2+b^2$।

ধরি $a = 2.9$ এবং $b = 1.1$। তাহলে রাশিটি দাঁড়ায়: $\frac{a^2-b^2}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b = 2.9 + 1.1 = 4$।

$n$ টি কাপের মূল্য = $p$ টাকা, সুতরাং ১ টি কাপের মূল্য = $\frac{p}{n}$ টাকা। অতএব ১০ টি কাপের মূল্য = $\frac{10p}{n}$ টাকা।

অপশন টেস্ট করে সহজেই করা যায়: $7+8=15$ এবং $7 \times 8 = 56$। সুতরাং সংখ্যা দুটি ৭ ও ৮।

১ম রাশি = $a$, ২য় রাশি = $a^2$, ৩য় রাশি = $a(a+b)$। সর্বোচ্চ ঘাত ও সাধারণ উৎপাদক নিয়ে ল.সা.গু. হয় = $a^2(a+b)$।

১ম রাশি = $(a-b)$, ২য় রাশি = $a(a-b)$, ৩য় রাশি = $(a-b)(a+b)$। $\therefore$ ল.সা.গু. = $a(a-b)(a+b) = a(a^2-b^2)$।

১ম রাশি = $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$, ২য় রাশি = $x^2-1 = (x+1)(x-1)$। সাধারণ সাধারণ উৎপাদক (গ.সা.গু.) = $(x+1)$।

আর-গুণন করে পাই: $6(2x+3y) = 5(3x+2y) \Rightarrow 12x + 18y = 15x + 10y \Rightarrow 8y = 3x \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{8}{3}$। $\therefore x:y = 8:3$।

$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$, যা একটি পূর্ণবর্গ রাশি।

$4x^2 + 9y^2 = (2x)^2 + (3y)^2$। পূর্ণবর্গ করতে হলে $2 \cdot (2x) \cdot (3y) = 12xy$ যোগ করতে হবে, যা $(2x+3y)^2$ গঠন করবে।

$9x^2 + 16y^2 = (3x)^2 + (4y)^2$। পূর্ণবর্গ করতে মাঝের পদটি হবে $2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 24xy$।

রাশিটিকে $(A+B)^2$ আকারে সাজালে পাই: $(\sqrt{m}x)^2 + 2 \cdot (\sqrt{m}x) \cdot 3 + 3^2$। এখানে মাঝের পদ $6\sqrt{m}x = 12x \Rightarrow 6\sqrt{m} = 12 \Rightarrow \sqrt{m} = 2 \Rightarrow m = 4$।

$x^3 + \left(\frac{2}{x}\right)^3 = \left(x+\frac{2}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{2}{x}\left(x+\frac{2}{x}\right) = 3^3 - 6(3) = 27 - 18 = 9$।

$x^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$।

আমরা জানি $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$। বামপক্ষ ও ডানপক্ষ তুলনা করে পাই, $a = 5$। (বইয়ের অপশনে ভুলবশত -5 দাগানো থাকলেও সঠিক উত্তর +5)।

দুটি সংখ্যার যোগফল নির্দিষ্ট থাকলে তাদের গুণফল সর্বোচ্চ হয় যখন সংখ্যা দুটি সমান হয়। এখানে $x = y = 3$ হলে $x+y=6$ হয় এবং $xy$ এর সর্বোচ্চ মান = $3 \times 3 = 9$।

$x^{-3} = 0.001 \Rightarrow \frac{1}{x^3} = \frac{1}{1000} \Rightarrow x^3 = 1000 \Rightarrow x = 10$। $\therefore x^2 = 10^2 = 100$।

ধরি $K$ যোগ করতে হবে। $\frac{x}{y} + K = \frac{2y}{x} \Rightarrow K = \frac{2y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{2y^2 - x^2}{xy}$।

আমরা জানি, $I = prn \Rightarrow n = \frac{I}{pr} = \frac{273}{650 \times 0.07} = 6$ বছর।