মেধা ঘর

জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর (Georg Cantor) সর্বপ্রথম সেট সম্পর্কিত ধারণা বা ব্যাখ্যা প্রদান করেন, যা পরবর্তীতে 'সেট তত্ত্ব' (Set Theory) নামে পরিচিত হয়।

যে সেটের কোনো উপাদান নেই তাকে ফাঁকা সেট বলে। ফাঁকা সেটকে $\{\}$ অথবা ওরি ($\varnothing$) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

দুই বা ততোধিক সেটের উপাদানসমূহ নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট (Union of Sets) বলা হয়। $A$ ও $B$ এর সংযোগ সেটকে $A \cup B$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$7$ এর গুণিতকের সেট হলো $\{7, 14, 21, 28, \dots\}$। যেহেতু এই সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় না, তাই এটি একটি অসীম সেট।

$8$ এর গুণনীয়ক বা উৎপাদকসমূহ হলো $1, 2, 4, 8$। সুতরাং নির্ণেয় সেটটি হবে $\{1, 2, 4, 8\}$। (দ্রষ্টব্য: মূল বইয়ের প্রশ্নে টাইপোগ্রাফিকাল ভুলের কারণে '৪' লেখা ছিল, যা মূলত '৮' বা '8' হবে)।

আলোচনাধীন সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয়, তবে সেই নির্দিষ্ট সেটকে সার্বিক সেট (Universal Set) বলে। এখানে সার্বিক সেট $U = \{1, 2, 3, 4\}$।

দেওয়া আছে, $\sqrt{2} = 1.414$। অতএব, $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{1.414} \approx 0.707$।

যেকোনো সেটের সাথে ফাঁকা সেটের সংযোগ করলে ওই সেটটিই পাওয়া যায়। সুতরাং, $A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \varnothing = \{1, 2, 3\}$।

দুটি সেটের সাধারণ (common) উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট (Intersection) বলে। এখানে সাধারণ উপাদান হলো $3$। অতএব, $A \cap B = \{1, 3\} \cap \{3, a, b\} = \{3\}$।

যেহেতু $x$ এবং $y$ সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ বা কমন উপাদান নেই, তাই এদের ছেদ সেট একটি ফাঁকা সেট হবে। অর্থাৎ, $x \cap y = \varnothing$।

কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে, তার উপসেটের সংখ্যা $2^n$ এবং প্রকৃত উপসেটের (Proper Subset) সংখ্যা $2^n - 1$। এখানে $A$ সেটের উপাদান সংখ্যা $3$, তাই প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা $= 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$টি।

$A \cup B$ বলতে দুটি সেটের সব উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে বোঝায় (কোনো উপাদান পুনরাবৃত্তি ছাড়া)। অতএব, $A \cup B = \{0, 1, 2\} \cup \{-1, 0, 1\} = \{-1, 0, 1, 2\}$।

পূরক সেট $A' = U - A$। অর্থাৎ সার্বিক সেট থেকে $A$ সেটের উপাদানগুলো বাদ দিলে পাওয়া যায় $\{1, 2, 3, 4\} - \{2, 4\} = \{1, 3\}$।

$B'$ বা $B$ এর পূরক সেট হলো $U - B$। সুতরাং, $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5\}$।

আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে তার শক্তি সেট বা পাওয়ার সেট $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হয় $2^n$। এখানে $2^n = 16 \implies 2^n = 2^4 \implies n = 4$। অর্থাৎ $A$ এর উপাদান সংখ্যা $4$।

প্রথমে ফার্স্ট ব্র্যাকেটের কাজ করি: $B \cap C = \{3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$। এখন, $A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3\} \cup \{4\} = \{1, 2, 3, 4\}$।

গণিত অনুসারে, সেট $C$ থেকে সেট $B$ তে কোনো অন্বয় বা সম্পর্ক $R$ হলো তাদের কার্তেসীয় গুণজ $C \times B$ এর একটি উপসেট। অর্থাৎ, $R \subseteq C \times B$।

কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product) সেটের নিয়ম অনুযায়ী, $A \times B = \{a\} \times \{0\} = \{(a, 0)\}$। উপাদানগুলো অবশ্যই ক্রোমজোড় (ordered pair) আকারে সেটের ভেতর থাকবে।

এখানে $x \in P$ এর জন্য $x = 1$। শর্ত অনুযায়ী $y = 2x = 2(1) = 2$। যেহেতু $2 \in Q$, তাই সঠিক ক্রোমজোড়টি হবে $(1, 2)$। সুতরাং নির্ণেয় সেট $R = \{(1, 2)\}$।

প্রথমে ছেদ সেট বের করি: $A \cap B = \{3, 4, 5\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4, 5\}$। এখন এর পাওয়ার সেট বা শক্তি সেট হবে সব উপসেটগুলোর সেট: $P(A \cap B) = \{\{4, 5\}, \{4\}, \{5\}, \varnothing\}$।