মেধা ঘর

যেকোনো সংখ্যার পরম মান হলো তার ধনাত্মক মান বা দূরত্ব। শূন্য (0) এর পরম মান সর্বদা শূন্যই হয়। অর্থাৎ, $|0| = 0$।

গণনা করার জন্য যেসব সংখ্যা (১, ২, ৩, ৪...) ব্যবহার করা হয়, সেগুলোকে গণনাকারী সংখ্যা বা স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়।

স্বাভাবিক সংখ্যার ইংরেজি প্রতিশব্দ হলো Natural Number, যার প্রথম অক্ষর 'N' দিয়ে এই সেটকে প্রকাশ করা হয়। $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$।

প্রদত্ত সংখ্যাগুলো ২ দ্বারা বিভাজ্য এবং ধনাত্মক, তাই এগুলো জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।

শূন্যসহ সকল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা (Non-negative integers) বলা হয়।

যেসব সংখ্যার ১ এবং ওই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো গুণনীয়ক বা উৎপাদক থাকে না, সেগুলোকে মৌলিক সংখ্যা বলে। ২, ৩, ৫, ৭ হলো মৌলিক সংখ্যা।

২, ৩, ৫ প্রতিটিই মৌলিক সংখ্যা। মনে রাখতে হবে, ১ মৌলিক সংখ্যা নয় এবং ৩৯, ৪৯, ৫১, ৬৩ ইত্যাদি সংখ্যাগুলোর ১ ও ওই সংখ্যা ছাড়াও অন্য উৎপাদক রয়েছে।

৩৯ এর ১ এবং ৩৯ ছাড়াও অন্যান্য উৎপাদক বা গুণনীয়ক রয়েছে (যেমন: $৩ \times ১৩ = ৩৯$)। তাই ৩৯ একটি যৌগিক সংখ্যা। (নোট: চিত্রে ভুলবশত অন্য অপশনে দাগানো ছিল, সঠিক উত্তর ৩৯)।

কোনো ঋণাত্মক সংখ্যার ওপর পাওয়ার বা সূচক বিজোড় হলে তার মান ঋণাত্মক হয়। এখানে $(-1)^3 = -1$, যা একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। অন্যদিকে $(-1)^2 = 1$ (ধনাত্মক)।

শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা (Integer) বলা হয়। পূর্ণ সংখ্যার সেট $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$।

শূন্য অপেক্ষা বড় সকল বাস্তব সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা বলে। শূন্য (0) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কোনোটিই নয়। তাই সঠিক অপশন (খ), যেখানে ১, ২, ৫ সবাই ধনাত্মক।

শূন্যসহ সকল ধনাত্মক (ভগ্নাংশ বা অখণ্ড) সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা বলে। অপশন (খ)-এর ০, ০.৫, ২ সবগুলোই অঋণাত্মক।

সকল মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যাকে একত্রে বাস্তব সংখ্যা (Real Number) বলা হয়।

পরম মানের ভেতরের সংখ্যা ঋণাত্মক হলেও তার ফলাফল সর্বদা ধনাত্মক হয়। অর্থাৎ $|-11| = 11$, যা একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

যেকোনো সংখ্যার পরম মান (Absolute Value) সর্বদা অঋণাত্মক বা ধনাত্মক হয়। সুতরাং, $|-5| = 5$।

মূল চিহ্ন বা বর্গমূল প্রতীক ($\sqrt{}$) দ্বারা কেবল অঋণাত্মক বর্গমূল বা প্রধান বর্গমূল (Principal square root) নির্দেশ করা হয়। তাই $\sqrt{16} = 4$।

দুটি সংখ্যার মধ্যবর্তী দূরত্ব বের করার সূত্র হলো: $|a - b|$। এখানে দূরত্ব = $|-2 - 4| = |-6| = 6$।

দূরত্ব = $|\sqrt{5} - (-2)| = |\sqrt{5} + 2| = \sqrt{5} + 2$।

আমরা জানি, $\sqrt{3} \approx 1.732$। অপশনগুলোর মধ্যে $1.0 + 0.73 = 1.73$, যা এর সবচেয়ে কাছাকাছি সঠিক মান।

$\sqrt{3} \approx 1.73205$। অতএব, $\frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{1.73205}{2} \approx 0.866$। দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নিলে তা হবে $0.87$।

$\sqrt{3}$ এর মান ১.৭৩২, যা ১ এর চেয়ে বড় এবং ২ এর চেয়ে ছোট ($1 < 1.732 < 2$)। বাকি অপশনগুলোর মান ১ এর চেয়ে ছোট।

সসীম দশমিক সংখ্যা (যেমন: 0.415) এবং আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা (যেমন: $0.\dot{6}\dot{2}$) উভয়কেই ভগ্নাংশ বা $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়। তাই এরা মূলদ সংখ্যা।

পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। ৩, ৫, ৭ পূর্ণবর্গ নয়, তাই এদের বর্গমূল $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}$ অমূলদ সংখ্যা।

$\sqrt{3} \approx 1.732$। অপশন (খ)-এর মানটি ১.৭৩২ থেকে ৪ এর মধ্যে অবস্থিত এবং এটি একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক সংখ্যা, তাই এটি অমূলদ। (গ) সসীম হওয়ায় মূলদ, (ক) ১.৭৩২ এর চেয়ে ছোট এবং (ঘ) ৪ এর চেয়ে বড়।

$\pi$ একটি সুপরিচিত অমূলদ সংখ্যা। আবার ২ ও ৭ পূর্ণঘন বা পূর্ণবর্গ না হওয়ায় $\sqrt[3]{2}$ এবং $\sqrt{7}$ উভয়ই অমূলদ সংখ্যা। সুতরাং সঠিক উত্তর সবগুলো।

অপশন ক, গ এবং ঘ হলো আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা (যেমন: $1.\dot{6}$, $1.\dot{3}$, $0.\dot{6}$), যা মূলদ সংখ্যা। কিন্তু অপশন খ একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক সংখ্যা, তাই এটি অমূলদ।

যে দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর ডানদিকের অঙ্ক সংখ্যা সসীম (নির্দিষ্ট) থাকে, তাকে সসীম দশমিক সংখ্যা বলে। এখানে 0.5442 সসীম। বাকিগুলো ডট ডট (...) থাকার কারণে অসীম।

0.356... এর শেষে ডট ডট চিহ্ন নির্দেশ করে যে এর অঙ্ক সংখ্যা কখনো শেষ হবে না, অর্থাৎ এটি একটি অসীম দশমিক সংখ্যা।

1.2323... সংখ্যাটিতে '23' অংশটি বারবার ক্রমানুসারে পুনরাবৃত্তি হচ্ছে। তাই এটি অসীম আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা, যাকে $1.\dot{2}\dot{3}$ লেখা যায়।

5.12765765... সংখ্যাটিতে দশমিকের পর '765' অংশটি বারবার আবৃত্ত বা পুনরাবৃত্তি হচ্ছে। একে $5.12\dot{7}6\dot{5}$ আকারে লেখা যায়।

আবৃত্ত দশমিক সংখ্যাগুলোর অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সমান হলে তাদেরকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক বলা হয়। অপশন (ঘ)-তে উভয়েরই অনাবৃত্ত অংশ ১টি এবং আবৃত্ত অংশ ২টি করে আছে।

$\frac{5}{11} = 0.454545... = 0.\dot{4}\dot{5}$ এবং $\frac{10}{3} = 3.3333... = 3.\dot{3}$। দুটিকেই আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

৯৫ কে ৩৭ দ্বারা ভাগ করলে পাওয়া যায় $২.৫৬৭৫৬৭৫৬৭...$ অর্থাৎ ৫, ৬, ৭ বারবার ফিরে আসে। তাই এটি আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ $2.\dot{5}6\dot{7}$।

সকল মূলদ সংখ্যাকে হয় সসীম দশমিক অথবা আবৃত্ত দশমিকে রূপান্তর করা যায়। অমূলদ সংখ্যাকে কখনো এভাবে প্রকাশ করা যায় না।

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1.414}{2} = 0.707$।

চিত্রে গাণিতিক শর্ত অনুযায়ী, $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$ সূত্র ব্যবহার করে জটিলতা নিরসন করা হয়, যেখানে সরলীকৃত মান মূলদ কাঠামোর অনুসারী হয়।

যেহেতু b ও c পূর্ণ সংখ্যা, তাই $\frac{b}{c}$ একটি মূলদ সংখ্যা। মূলদ সংখ্যাকে দশমিকে প্রকাশ করলে তা সসীম অথবা আবৃত্ত দশমিক হয়। সাধারণ শর্তে এটি আবৃত্ত দশমিক নির্দেশ করে।

যেকোনো তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে একটি সংখ্যা অবশ্যই ৩ এর গুণিতক বা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। ফলে তাদের গুণফলও সর্বদা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। (যেমন: $১ \times ২ \times ৩ = ৬$, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য)।

অসমতার নিয়ম অনুযায়ী, কোনো অসমতার উভয় পক্ষে একই বাস্তব সংখ্যা যোগ করলে অসমতার চিহ্নের কোনো পরিবর্তন হয় না। সুতরাং $a < b$ হলে $a + c < b + c$।

অসমতার উভয় পক্ষকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা ($c < 0$) দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়। তাই $a < b$ হলে $ac > bc$ হবে।

লব ও হরকে $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ দ্বারা গুণ করলে পাই: $\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{3-2} = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2(2.44948) = 5 - 4.8989 = 0.1010$।