মেধা ঘর

1 থেকে $n$ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$। এখানে $n = 20$। সুতরাং, সমষ্টি = $\frac{20 \times (20 + 1)}{2} = 10 \times 21 = 210$।

ধারাটির পদগুলোর মধ্যকার পার্থক্য লক্ষ্য করি: $3-1=2$, $6-3=3$, $10-6=4$, $15-10=5$, $21-15=6$। দেখা যাচ্ছে যে, পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য প্রতিবার 1 করে বাড়ছে। অতএব, পরবর্তী পদের জন্য পার্থক্য হবে $6+1=7$। সুতরাং, পরবর্তী পদটি হবে $21+7=28$।

ধারাটির পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য বের করি: $8-4=4$, $13-8=5$, $19-13=6$, $26-19=7$। পার্থক্যগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যায় তা ক্রমান্বয়ে 4, 5, 6, 7 করে বাড়ছে। অতএব, পরবর্তী পার্থক্যটি হবে 8। সুতরাং, পরবর্তী পদ = $26+8 = 34$।

এটি একটি গুণোত্তর ধারা। এখানে প্রথম পদ $a = 2$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{4}{2} = 2$। আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ = $ar^{n-1}$। প্রশ্নমতে, $2 \times 2^{n-1} = 128 \Rightarrow 2^n = 128 \Rightarrow 2^n = 2^7 \Rightarrow n = 7$। সুতরাং, ধারাটির 7-ম পদের মান 128।

এটি 1 থেকে 99 পর্যন্ত প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির অঙ্ক। সূত্র: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$। এখানে শেষ পদ $n = 99$। সুতরাং, সমষ্টি = $\frac{99 \times (99 + 1)}{2} = \frac{99 \times 100}{2} = 99 \times 50 = 4950$।

এটি একটি ফিবোনাচ্চি (Fibonacci) ধারা। ফিবোনাচ্চি ধারার নিয়ম হলো—পরবর্তী পদটি তার ঠিক পূর্ববর্তী দুটি পদের যোগফলের সমান হয়। ধারাটির শেষ দুটি পদ হলো 21 এবং 34। অতএব, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে: $21 + 34 = 55$।

ধারাটির পদগুলো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় এরা প্রত্যেকেই পূর্ণবর্গ সংখ্যা: $9 = 3^2$, $36 = 6^2$, $81 = 9^2$, $144 = 12^2$। এখানে ভিত্তি সংখ্যাগুলো (3, 6, 9, 12) প্রতিবার 3 করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। অতএব, পরবর্তী ভিত্তি সংখ্যাটি হবে $12 + 3 = 15$। সুতরাং, পরবর্তী পদটি হবে $15^2 = 225$।