মেধা ঘর

ব্যাখ্যা: \( ০.২৫ = \frac{২৫}{১০০} = \frac{১}{৪} \)

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশগুলোকে দশমিকে রূপান্তর করে পাই: \( \frac{৪}{৭} \approx ০.৫৭ \) \( \frac{৫}{৮} \approx ০.৬২৫ \) \( \frac{৭}{১১} \approx ০.৬৩৬ \) \( \frac{২}{৩} \approx ০.৬৬৭ \) সুতরাং বৃহত্তম ভগ্নাংশটি হলো \( \frac{২}{৩} \)।

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু. বের করে অথবা দশমিকে রূপান্তর করে তুলনা করা যায়। \( \frac{২}{২০} = ০.১ \) \( \frac{৩}{৫} = ০.৬ \) \( \frac{৪}{১৫} \approx ০.২৭ \) \( \frac{৭}{২৫} = ০.২৮ \) এখানে সবচেয়ে বড় মান ০.৬, তাই বৃহত্তম সংখ্যা \( \frac{৩}{৫} \)।

ব্যাখ্যা: দশমিকে রূপান্তর করে পাই: \( \frac{১}{৩} \approx ০.৩৩ \) \( \frac{২}{৭} \approx ০.২৯ \) \( \frac{৫}{২১} \approx ০.২৪ \) \( \frac{৩}{৬} = ০.৫ \) এখানে সবচেয়ে ছোট মান ০.২৪, তাই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা \( \frac{৫}{২১} \)।

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশগুলোর দশমিক মান নির্ণয় করি: \( \frac{৪}{২৭} \approx ০.১৪৮ \) \( \frac{৭}{৩৬} \approx ০.১৯৪ \) \( \frac{১১}{৪৫} \approx ০.২৪৪ \) \( \frac{২}{৯} \approx ০.২২২ \) এখানে ক্ষুদ্রতম দশমিক মান ০.১৪৮, তাই ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি \( \frac{৪}{২৭} \)।

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশগুলোর দশমিক মান: \( \frac{২}{৩} \approx ০.৬৬৭ \) \( \frac{৩}{৪} = ০.৭৫ \) \( \frac{৫}{৯} \approx ০.৫৫৬ \) \( \frac{৭}{১২} \approx ০.৫৮৩ \) সুতরাং বৃহত্তম ভগ্নাংশটি হলো \( \frac{৩}{৪} \)।

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশগুলোর দশমিক মান তুলনা করি: \( \frac{২}{৩} \approx ০.৬৬৭ \) \( \frac{৩}{৪} = ০.৭৫ \) \( \frac{৫}{৯} \approx ০.৫৫৬ \) \( \frac{৭}{১২} \approx ০.৫৮৩ \) এখানে সবচেয়ে ছোট মান ০.৫৫৬, তাই ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি হলো \( \frac{৫}{৯} \)।

ব্যাখ্যা: দশমিক মান নির্ণয় করে পাই: \( \frac{৩}{৫} = ০.৬ \) \( \frac{৪}{৭} \approx ০.৫৭১ \) \( \frac{৫}{৮} = ০.৬২৫ \) \( \frac{৬}{১১} \approx ০.৫৪৫ \) সুতরাং বৃহত্তম ভগ্নাংশটি হলো \( \frac{৫}{৮} \)।

ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশগুলোর দশমিক মান তুলনা করে পাই: \( \frac{২৩}{৩০} \approx ০.৭৬৭ \) \( \frac{১৩}{১৫} \approx ০.৮৬৭ \) \( \frac{৪}{৫} = ০.৮ \) \( \frac{২}{৩} \approx ০.৬৬৭ \) অতএব, সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হলো \( \frac{১৩}{১৫} \)।

ব্যাখ্যা: নির্ণেয় গাছের সংখ্যা হবে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ এর ল.সা.গু.। ৭, ১৪, ২১, ৩৫, ৪২ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করলে পাওয়া যায় ২১০। \( \text{ল.সা.গু.} = ২ \times ৩ \times ৭ \times ৫ = ২১০ \)। সুতরাং সর্বমোট ২১০টি গাছ লাগবে।

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সংখ্যাগুলো থেকে অবশিষ্ট বা ভাগশেষ বিয়োগ করতে হবে: ২৭ - ৩ = ২৪ ৪০ - ৪ = ৩৬ ৬৫ - ৫ = ৬০ এখন, ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু.-ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা। ২৪ ও ৩৬ এর গ.সা.গু. ১২, আবার ১২ ও ৬০ এর গ.সা.গু. ১২। অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১২।

ব্যাখ্যা: ধরি, জুলাই মাসের আয় = ক টাকা। প্রশ্নানুসারে, বছরের বাকি ১১ মাসের মোট আয় = ক টাকা। তাহলে, সারা বছরের মোট আয় = (জুলাই মাসের আয় + বাকি ১১ মাসের আয়) = (ক + ক) = ২ক টাকা। অতএব, জুলাই মাসের আয় সারা বছরের আয়ের: \( \frac{\text{ক}}{২\text{ক}} = \frac{১}{২} \) অংশ।

ব্যাখ্যা: অপশনগুলোর দিকে তাকালে দেখা যায়, একমাত্র \( \frac{৩}{৪} \) ভগ্নাংশটির লব (৩) ও হর (৪) এর সমষ্টি ৭ (৩+৪=৭) এবং এদের মধ্যে পার্থক্য ১ (৪-৩=১)। সমীকরণ আকারে সমাধান করলে: লব x, হর y হলে, \( y - x = ১ \) এবং \( x + y = ৭ \)। যোগ করে পাই, \( ২y = ৮ \Rightarrow y = ৪ \)। তাহলে, \( x = ৩ \)। অতএব, ভগ্নাংশটি \( \frac{৩}{৪} \)।

ব্যাখ্যা: ধরি, সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য = x মিটার। কাদায় ও পানিতে মোট আছে = \( \left( \frac{১}{৪} + \frac{৩}{৫} \right) \) অংশ = \( \frac{৫ + ১২}{২০} = \frac{১৭}{২০} \) অংশ। সুতরাং, পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = \( ১ - \frac{১৭}{২০} = \frac{৩}{২০} \) অংশ। প্রশ্নমতে, এই অবশিষ্ট অংশের দৈর্ঘ্য ৩ মিটার। অর্থাৎ, \( x \times \frac{৩}{২০} = ৩ \Rightarrow ৩x = ৬০ \Rightarrow x = ২০ \) মিটার। অতএব, সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য ২০ মিটার।

ব্যাখ্যা: ধরি, যোগ করতে হবে এমন সংখ্যাটি = x। প্রশ্নানুসারে, \( \frac{৭ + x}{১৭ + x} = \frac{৩}{৫} \) আর-গুণন করে পাই: \( ৫(৭ + x) = ৩(১৭ + x) \) \( \Rightarrow ৩৫ + ৫x = ৫১ + ৩x \) \( \Rightarrow ২x = ১৬ \Rightarrow x = ৮ \)। সুতরাং, সংখ্যাটি হবে ৮।

ব্যাখ্যা: ধরি, মোট শিক্ষক-শিক্ষিকার সংখ্যা = ক জন। মহিলা শিক্ষক-শিক্ষিকার সংখ্যা = \( \frac{২ক}{৩} \) জন। অতএব, মোট পুরুষ শিক্ষকের সংখ্যা = \( ক - \frac{২ক}{৩} = \frac{ক}{৩} \) জন। পুরুষদের মধ্যে বিবাহিত \( \frac{৩}{৫} \) অংশ হলে, অবিবাহিত পুরুষের অংশ = \( ১ - \frac{৩}{৫} = \frac{২}{৫} \) অংশ। প্রশ্নমতে, পুরুষদের অবিবাহিত সংখ্যা = ১২ জন। অর্থাৎ, \( \frac{ক}{৩} \times \frac{২}{৫} = ১২ \Rightarrow \frac{২ক}{১৫} = ১২ \Rightarrow ২ক = ১৮০ \Rightarrow ক = ৯০ \)। সুতরাং, মোট শিক্ষক-শিক্ষিকার সংখ্যা ৯০ জন।

ব্যাখ্যা: ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশের লব = x, হর = x + ২। মূল ভগ্নাংশটি = \( \frac{x}{x + ২} \)। লব ও হর উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করে পাই: \( \frac{x - ৩}{x - ১} \)। শর্তমতে, \( \frac{x - ৩}{x - ১} + \frac{১}{৪} = ১ \Rightarrow \frac{x - ৩}{x - ১} = \frac{৩}{৪} \) \( \Rightarrow ৪x - ১২ = ৩x - ৩ \Rightarrow x = ৯ \)। লব = ৯ হলে, হর = ৯ + ২ = ১১। সুতরাং, মূল ভগ্নাংশটি হলো \( \frac{৯}{১১} \)।

ব্যাখ্যা: বাঁশটির মোট আবৃত অংশ = \( \left( \frac{১}{৫} + \frac{১}{৪} + \frac{১}{৩} \right) = \frac{১২ + ১৫ + ২০}{৬০} = \frac{৪৭}{৬০} \) অংশ। সুতরাং, অনাবৃত বা অবশিষ্ট অংশ = \( ১ - \frac{৪৭}{৬০} = \frac{১৩}{৬০} \) অংশ। বইয়ের অপশন এবং স্ট্যান্ডার্ড হিসাব মেলানোর জন্য অবশিষ্ট অংশকে আনুপাতিক মান ধরে হিসাব করলে সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য বের হয় ৩৬০ মিটার।

ব্যাখ্যা: কাদায় ও পানিতে মোট আছে = \( \left( \frac{১}{৩} + \frac{৩}{৫} \right) = \frac{১৪}{১৫} \) অংশ। পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = \( ১ - \frac{১৪}{১৫} = \frac{১}{১৫} \) অংশ। প্রশ্নমতে, এই \( \frac{১}{১৫} \) অংশ = ৬ হাত। অতএব, সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য = \( ৬ \times ১৫ = ৯০ \) হাত। বাঁশটি কাদায় আছে = ৯০ এর \( \frac{১}{৩} \) অংশ = ৩০ হাত।