মেধা ঘর

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু.।
অতএব, অপর সংখ্যা = $\frac{\text{ল.সা.গু.} \times \text{গ.সা.গু.}}{\text{একটি সংখ্যা}} = \frac{192 \times 16}{48} = 64$।

সূত্রানুযায়ী, অপর সংখ্যা = $\frac{\text{ল.সা.গু.} \times \text{গ.সা.গু.}}{\text{একটি সংখ্যা}} = \frac{90 \times 15}{30} = 45$।

আমরা জানি, অপর সংখ্যা = $\frac{\text{ল.সা.গু.} \times \text{গ.সা.গু.}}{\text{একটি সংখ্যা}} = \frac{60 \times 12}{10} = 72$।

আমরা জানি, অপর সংখ্যা = $\frac{\text{ল.সা.গু.} \times \text{গ.সা.গু.}}{\text{একটি সংখ্যা}} = \frac{360 \times 2}{10} = 72$।

আমরা জানি, অপর সংখ্যা = $\frac{\text{ল.সা.গু.} \times \text{গ.সা.গু.}}{\text{একটি সংখ্যা}} = \frac{60 \times 10}{20} = 30$।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার (ল.সা.গু. $\times$ গ.সা.গু.) = সংখ্যা দুটির গুণফল। সুতরাং, শুধুমাত্র ল.সা.গু. এবং গুণফল পরস্পরের সমান বা সম্পর্কযুক্ত এমন সরাসরি একক সূত্র তৈরি হয় না। তাই সঠিক উত্তর কোনোটিই নয়।

$5, 6, 10, 15$ এর ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে ল.সা.গু নির্ণয়:
৫ দিয়ে ভাগ করলে: $1, 6, 2, 3$
৩ দিয়ে ভাগ করলে: $1, 2, 2, 1$
২ দিয়ে ভাগ করলে: $1, 1, 1, 1$
অতএব, ল.সা.গু. = $5 \times 3 \times 2 = 30$।

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে। $2, 3, 4, 5, 6$ এর ল.সা.গু = $60$। যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে $1$ অবশিষ্ট থাকে, তাই ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে $(60 + 1) = 61$।

$12, 15, 20, 25$ এর ল.সা.গু হলো $300$। যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে $11$ অবশিষ্ট থাকে, সেহেতু নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে $(300 + 11) = 311$।

$4, 5, 6$ এর ল.সা.গু = $60$。যেহেতু প্রত্যেকবার $3$ অবশিষ্ট থাকে, তাই নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে $60 + 3 = 63$।

$24, 36, 48$ এর ল.সা.গু = $144$। যেহেতু $3$ যোগ করার পর বিভাজ্য হবে, তাই মূল সংখ্যাটি হবে ল.সা.গু থেকে $3$ কম। অর্থাৎ, নির্ণেয় সংখ্যা = $144 - 3 = 141$।

$9, 12, 15$ এর ল.সা.গু = $180$। যেহেতু সংখ্যাটি থেকে $1$ বিয়োগ করলে বিভাজ্য হবে, তাই সংখ্যাটি হবে ল.সা.গু অপেক্ষা $1$ বেশি। অর্থাৎ, সংখ্যাটি = $180 + 1 = 181$।

$12, 18, 24$ এর ল.সা.গু = $72$。যেহেতু $2$ যোগ করার পর সংখ্যাটি বিভাজ্য হবে, তাই নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হবে $72 - 2 = 70$।

$4, 6, 10, 15$ এর ল.সা.গু = $60$। পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $10000$। $10000$ কে $60$ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে $40$। নিঃশেষে বিভাজ্য পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = $10000 + (60 - 40) = 10020$। প্রতি ক্ষেত্রে $3$ অবশিষ্ট থাকায় নির্ণেয় সংখ্যা = $10020 + 3 = 10023$।

$5, 10, 15$ এর ল.সা.গু = $30$। পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো $10000$। এবার $10000$ কে $30$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ বা অবশিষ্ট থাকে $10$。অতএব, লঘিষ্ঠ সংখ্যা $10$ বিয়োগ করলে বিয়োগফল নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রথমে সংখ্যাগুলো থেকে ভাগশেষ বিয়োগ করতে হবে:
$27 - 3 = 24$
$40 - 4 = 36$
$65 - 5 = 60$
এখন $24, 36, 60$ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে। এদের গ.সা.গু হলো $12$। সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো $12$।

প্রত্যেকবার $6$ অবশিষ্ট থাকে বিধায় সংখ্যা দুটি থেকে $6$ বিয়োগ করি:
$102 - 6 = 96$
$186 - 6 = 180$
এখন $96$ ও $180$ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে। $96$ ও $180$ এর গ.সা.গু হলো $12$। সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = $12$।

ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজার সময় নির্ধারণের জন্য প্রদত্ত সময়গুলোর ল.সা.গু বের করতে হবে। $3, 5, 7, 8, 10$ এর ল.সা.গু = $840$ সেকেন্ড।
মিনিটে প্রকাশ করলে: $\frac{840}{60} = 14$ মিনিট।

$10, 15, 20, 25$ এর ল.সা.গু = $300$ সেকেন্ড।
মিনিটে রূপান্তর করলে: $\frac{300}{60} = 5$ মিনিট। অতএব, তারা ৫ মিনিট পর আবার একত্রে বাজবে।

ছাত্রদের ন্যূনতম সংখ্যা হবে $8, 10$ এবং $15$ এর ল.সা.গু।
$8, 10, 15$ এর ল.সা.গু নির্ণয় করলে পাওয়া যায় $120$। সুতরাং ঐ স্কুলে ন্যূনতম $120$ জন ছাত্র রয়েছে।

চিত্রে প্রশ্নটি আংশিক অস্পষ্ট ও অপশনগুলো ত্রুটিপূর্ণভাবে উপস্থাপিত। সঠিক গাণিতিক উপপাদ্যটি হলো: যেকোনো $n$ সংখ্যক ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল সর্বদাই $n!$ (n-factorial) দ্বারা বিভাজ্য। ৩টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল $3! = 6$ দ্বারা এবং ৪টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল $4! = 24$ দ্বারা বিভাজ্য হয়। এখানে অপশন অনুযায়ী উত্তর '৬টি' বা $6$ নির্দেশ করা হয়েছে।

এখানে তিনটি ভিন্ন অংক ($5, 6, 7$) আছে এবং প্রতিটি দুইবার করে আছে।
১) তিনটি অংকই ভিন্ন হলে বিন্যাস সংখ্যা: ${}^3P_3 = 6$
২) দুটি অংক একই এবং একটি ভিন্ন হলে: জোড়া নির্বাচন করা যায় ${}^3C_1 = 3$ উপায়ে, বাকি ২টি অংক থেকে ১টি নির্বাচন করা যায় ${}^2C_1 = 2$ উপায়ে। এদের বিন্যাস: $\frac{3!}{2!} = 3$। মোট বিন্যাস = $3 \times 2 \times 3 = 18$।
সর্বমোট গঠিত সংখ্যা = $6 + 18 = 24$টি।