মেধা ঘর

১ থেকে ৭ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫ এবং ৭। অর্থাৎ মোট ৪টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।

১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭। মোট সংখ্যা ৪টি। ১ মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এর কেবল একটিই উৎপাদক রয়েছে।

১ ও ৩১ এর মধ্যে (৩১ সহ) মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ এবং ৩১। সর্বমোট ১১টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।

১ থেকে ৩২ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১। অর্থাৎ মোট ১১টি মৌলিক সংখ্যা আছে।

১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯। সর্বমোট ১০টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি। সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

৫৩ সংখ্যাটিকে ১ এবং ৫৩ ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা। অন্যপক্ষে, $৭২ = ২ \times ৩৬$ এবং $৮৭ = ৩ \times ২৯$ (যেহেতু অংকদ্বয়ের যোগফল $৮+৭=১৫$ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য)।

৪৭ একটি মৌলিক সংখ্যা কারণ একে ১ এবং ৪৭ ছাড়া অন্য কিছু দিয়ে ভাগ করা যায় না। বাকিগুলোর ক্ষেত্রে: $১৪৩ = ১১ \times ১৩$ এবং $৯১ = ৭ \times ১৩$।

১০ থেকে ৬০ এর মধ্যে একক স্থানীয় অংক ৯ বিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ১৯, ২৯ এবং ৫৯ (৩৯ মৌলিক নয় কারণ $৩ \times ১৩ = ৩৯$)। সংখ্যাগুলোর সমষ্টি: $১৯ + ২৯ + ৫৯ = ১০৭$।

যেসব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত বা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না, তাদের অমূলদ সংখ্যা বলে। এখানে $\pi$, $\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{7}$ সবগুলিই অমূলদ সংখ্যা।

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ একটি অমূলদ সংখ্যা কারণ এর হর একটি অমূলদ সংখ্যা $\sqrt{3}$। অন্য অপশনগুলোর ক্ষেত্রে: $০.৩ = \frac{৩}{১০}$, $\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$ এবং $\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$, যা সবই মূলদ সংখ্যা।

দশমিক ভগ্নাংশগুলোর তুলনা করলে দেখা যায়, ০.৫০ এর মান অন্য সবগুলোর চেয়ে বড়। (যেমন: $০.৫০ > ০.৩৩ > ০.১৩ > ০.০৯$)।

$\sqrt{0.000009} = \sqrt{(0.003)^2} = 0.003$। দশমিকের পর ৬টি ঘর থাকায় বর্গমূল করলে দশমিকের পর ৩টি ঘর হবে।

সংখ্যার গুণফল: $৪ \times ২ \times ৮ = ৬৪$। দশমিকের পরের মোট ঘর সংখ্যা গণনা করি: ১ + ২ + ২ = ৫টি ঘর। সুতরাং উত্তর হবে ০.০০০MD_0 (০.০০০০৬৪)। ভগ্নাংশ আকারে: $\frac{৪}{১০} \times \frac{২}{১০০} \times \frac{৮}{১০০} = \frac{৬৪}{১০০০০০} = ০.০০০০৬৪$।

প্রধান বা ধনাত্মক বর্গমূল চিহ্নের ($\sqrt{}$) মান সর্বদা অঋণাত্মক হয়। তাই $\sqrt{16} = 4$।

পরম মান বা Absolute Value সর্বদা ধনাত্মক সংখ্যা নির্দেশ করে। অতএব, $|-5| = 5$।

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1.414}{2} = 0.707$।

$\sqrt{0.001} \approx 0.03162$। অপশনে এই মানটি না থাকায় সঠিক উত্তর 'কোনোটিই নয়'।

$0.1$ এর বর্গমূল হলো $\sqrt{0.1} \approx 0.316$। প্রদত্ত অপশনগুলোর কোনোটিই সঠিক নয়।

$(0.003)^2 = 0.003 \times 0.003 = 0.000009$। বর্গ করার ফলে দশমিকের পরের ঘর সংখ্যা দ্বিগুণ (৩ থেকে ৬টি) হবে।

পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ১০০০০ এবং চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ৯৯৯৯। এদের অন্তর বা বিয়োগফল: $১০০০০ - ৯৯৯৯ = ১$।

ভাগ প্রক্রিয়ায় বা উৎপাদকের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় করলে দেখা যায়, $৩২ \times ৩২ = ১০২৪$। সুতরাং ১০২৪ এর বর্গমূল ৩২।

ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র হলো: $S = \frac{n(n+1)}{2}$। এখানে $n = ৯৯$। সুতরাং, $\frac{৯৯ \times (৯৯+১)}{2} = \frac{৯৯ \times ১০০}{২} = ৯৯ \times ৫০ = ৪৯৫০$।

ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = $\frac{\text{প্রথম পদ} + \text{শেষ পদ}}{২}$। এখানে প্রথম পদ ১ এবং শেষ পদ ৯৯। অতএব, গড় = $\frac{১ + ৯৯}{২} = \frac{১০০}{২} = ৫০$।

দেওয়া আছে প্রথম দুটি সংখ্যার গুণফল ৯১। আমরা জানি, $৭ \times ১১ = ৭৭$ (সঠিক নয়), কিন্তু $৭ \times ১৩ = ৯১$। আবার শেষ দুটির গুণফল ১৪৩, যেখানে $১৩ \times ১১ = ১৪৩$। অতএব, ক্রমিক ছোট থেকে বড় অনুযায়ী সাজালে মৌলিক সংখ্যা তিনটি হলো ৭, ১১, ১৩।

ধরি সংখ্যাটি $x$। প্রশ্নমতে, $৪x + ১০ = ৪^২ \Rightarrow ৪x + ১০ = ১৬ \Rightarrow ৪x = ১৬ - ১০ \Rightarrow ৪x = ৬ \Rightarrow x = ১.৫$। (নোট: মূল বইয়ের প্রশ্নে প্রিন্টিং ভুল থাকতে পারে, যদি প্রশ্নটি হতো 'বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে', তবে উত্তর হতো ২৫। ছবি অনুযায়ী সমীকরণ: $\sqrt{x}+১০=৪^২ \Rightarrow \sqrt{x}=৬ \Rightarrow x=৩৬$। অপশন অনুসারে ছবিতে বর্গমূল ধরে সমাধান করে উত্তর ৩৬ দেওয়া আছে।)

ধরি সংখ্যাটি $x$। শর্তানুসারে, $\sqrt{x} + ২০ = ৫^২ \Rightarrow \sqrt{x} + ২০ = ২৫ \Rightarrow \sqrt{x} = ২৫ - ২০ \Rightarrow \sqrt{x} = ৫ \Rightarrow x = ৫^২ = ২৫$।

ধরি সংখ্যা দুটি $a$ এবং $b$ (যেখানে $a > b$)। দেওয়া আছে, $a+b=১৭$ এবং $ab=৭২$। আমরা জানি, $৯ \times ৮ = ৭২$ এবং $৯ + ৮ = ১৭$। অতএব, সংখ্যা দুটির মধ্যে ছোট সংখ্যাটি হলো ৮।

ধরি সংখ্যাটি $x$। প্রশ্নমতে, $৩x + ২x = ৯০ \Rightarrow ৫x = ৯০ \Rightarrow x = \frac{৯০}{৫} = ১৮$।

ধরি সংখ্যাটি $x$। প্রশ্নানুসারে, $\frac{x^2}{2} = 8 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$।

২৪৫০ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই: $২৪৫০ = ২ \times ৫ \times ৫ \times ৭ \times ৭ = ২ \times ৫^২ \times ৭^২$। এখানে ২ উৎপাদকটি জোড়বিহীন। সুতরাং সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। (পরীক্ষা: $২৪৫০ \times ২ = ৪৯০০ = ৭০^২$)।

৬৫৫৮ এর বর্গমূল ভাগ প্রক্রিয়ায় করলে ভাগশেষ থাকে। ৮১ এর বর্গ = ৬৫৬১। অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে $৬৫৬১ - ৬৫৫৮ = ৩$। ৩ যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

ছোট সংখ্যা = $\frac{\text{বর্গের অন্তর} - ১}{২} = \frac{৩৭ - ১}{২} = ১৮$। বড় সংখ্যা = $\frac{\text{বর্গের অন্তর} + ১}{২} = \frac{৩৭ + ১}{২} = ১৯$। অতএব সংখ্যা দুটি ১৮ ও ১৯।

বড় সংখ্যাটি নির্ণয়ের সহজ সূত্র: $\frac{\text{বর্গের অন্তর} + ১}{২}$। এখানে, বড় সংখ্যা = $\frac{১৯৯ + ১}{২} = \frac{২০০}{২} = ১০০$।

ধরি, ছোট সংখ্যাটি $x$ এবং বড় সংখ্যাটি $x+1$। শর্তানুসারে, $(x+1)^2 - x^2 = ৫৩ \Rightarrow x^2 + ২x + ১ - x^2 = ৫৩ \Rightarrow ২x = ৫২ \Rightarrow x = ২৬$। সুতরাং ছোট সংখ্যাটি ২৬ এবং বড় সংখ্যাটি $২৬ + ১ = ২৭$।

অপশন টেস্ট করে পাই: যদি সংখ্যাটি ৯ হয়, তবে তার বর্গ $৯^২ = ৮১$ এবং বর্গমূল $\sqrt{৯} = ৩$। এদের পার্থক্য: $৮১ - ৩ = ৭৮$। যা শর্তের সাথে মিলে যায়।

আমরা জানি, ৮, ৯ এবং ১০ হলো তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যাদের গুণফল $৮ \times ৯ \times ১০ = ৭২০$। এদের যোগফল হবে: $৮ + ৯ + ১০ = ২৭$।

যেকোনো তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা ৬ দ্বারা বিভাজ্য। যেমন: $১ \times ২ \times ৩ = ৬$ (৬ দ্বারা বিভাজ্য), $২ \times ৩ \times ৪ = ২৪$ (৬ দ্বারা বিভাজ্য)।

পরপর ১০টি সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রথম ৫টি ও শেষ ৫টির সমষ্টির মধ্যে পার্থক্য হয় সর্বদা $৫^২ = ২৫$। সুতরাং, শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল হবে $৫৬০ + ২৫ = ৫৮৫$।

প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = $৪ \times ৫২ = ২০৮$। শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = $৫ \times ৩৮ = ১৯০$। এই ৯টি সংখ্যার মোট সমষ্টি = $২০৮ + ১৯০ = ৩৯৮$। ১০টি সংখ্যার মোট যোগফল ৪base২ থেকে এই সমষ্টি বাদ দিলে পঞ্চম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে: $৪৬২ - ৩৯৮ = ৬৪$।

ধরি ১ম তিনটি ক্রমিক সংখ্যা $x, x+1, x+2$। প্রশ্নমতে, $৩x+৩=২৭ \Rightarrow ৩x=২৪ \Rightarrow x=৮$। সংখ্যাগুলো হলো ৮, ৯, ১০। পরবর্তী তিনটি সংখ্যা হলো ১১, ১২, ১৩। এদের যোগফল: $১১ + ১২ + ১৩ = ৩৬$। (সংক্ষিপ্ত নিয়ম: $২৭ + ৩^২ = ২৭ + ৯ = ৩৬$)।

ধরি সংখ্যাটি $x$। প্রশ্নমতে, $x + \frac{1}{x} = ২ \Rightarrow \frac{x^2 + 1}{x} = ২ \Rightarrow x^2 - ২x + ১ = ০ \Rightarrow (x-1)^2 = ০ \Rightarrow x = ১$।

ধরি, ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা $x$ জন। তাহলে প্রত্যেকের সহপাঠীর সংখ্যা হবে $(x-1)$ জন। শর্তানুসারে, $x(x-1) = ৪২০ \Rightarrow x^2 - x - ৪২০ = ০ \Rightarrow (x-21)(x+20) = ০$। যেহেতু শিক্ষার্থীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $x = ২১$।

যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে, তাই সংখ্যাগুলো অবশ্যই ৩১ অপেক্ষা বড় হবে এবং $(৩৪৬ - ৩১) = ৩১৫$ এর উৎপাদক হবে। ৩১৫ এর ৩১ অপেক্ষা বড় উৎপাদকগুলো হলো: ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫।

বর্গাকারে সাজানোর জন্য অতিরিক্ত সৈন্য বাদ দিতে হবে: $২০৭৪০ - ৪ = ২০৭৩৬$। এখন ২০৭৩৬ এর বর্গমূল নির্ণয় করলে প্রতি সারিতে সৈন্য সংখ্যা পাওয়া যাবে: $\sqrt{২০৭৩৬} = ১৪৪$ জন।

৪৭০৮০ এর বর্গমূল ভাগ প্রক্রিয়ায় নির্ণয় করার সময় দেখা যায় যে ৪২৪ অবশিষ্ট থাকে। সুতরাং, কমপক্ষে ৪২৪ জন সৈন্য সরিয়ে নিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।

ধরি, শিক্ষার্থী সংখ্যা $x$ জন। প্রত্যেকে চকলেট পায় $৩x$ টি। শর্তানুসারে, $x \times ৩x = ২৭০০ \Rightarrow ৩x^2 = ২৭০০ \Rightarrow x^2 = ৯০০ \Rightarrow x = ৩০$ জন।

সংক্ষিপ্ত নিয়ম: সংখ্যাটি হবে প্রদত্ত সংখ্যা দুটির গড়। অর্থাৎ, $\frac{৬৫০ + ৮২০}{২} = \frac{১৪৭০}{২} = ৭৩৫$।

০, ১, ২, ৩ দ্বারা গঠিত চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৩২১০। চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩ (যেহেতু প্রথমে ০ বসানো যায় না)। এদের বিয়োগফল: $৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$।

বৃহত্তম সংখ্যা = ৩২১০ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩। এদের বিয়োগফল: $৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$। (ইমেজে একই টাইপের প্রশ্ন দুই জায়গায় ভিন্ন অপশনে এসেছে, ইউনিক প্রশ্ন হিসেবে রাখা হলো)।

১ থেকে ৯৬ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে $\frac{৯৬}{৪} = ২৪$টি। কিন্তু প্রশ্নানুসারে ১২ থেকে শুরু করতে হবে, অর্থাৎ ৪ এবং ৮ বাদ যাবে (২টি সংখ্যা)। সুতরাং বিভাজ্য সংখ্যা হবে: $২৪ - ২ = ২২$টি। এখানে ১২ এবং ৯৬ উভয়ই অন্তর্ভুক্ত থাকায় মোট সংখ্যা ২২টি। (বইয়ের দেওয়া উত্তর ২২ এর সাথে ব্যাখ্যাটি মিলে যায়, ছবিতে প্রিন্টিং অপশন ২৩ দাগানো থাকলেও সঠিক উত্তর ২২)।

দেওয়া আছে ভাজক = ০.৫। ভাজক ভাগফলের ১০ গুণ হওয়ায়, ভাগফল = $\frac{০.৫}{১০} = ০.০৫$। আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক $\times$ ভাগফল = $০.৫ \times ০.০৫ = ০.০২৫$।

যেকোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে ১ যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়। যেমন: ১, ২, ৩, ৪ এর গুণফল $২৪ + ১ = ২৫ = ৫^২$। সুতরাং সঠিক রূপটি হলো $abcd + 1$।

আমরা জানি, $a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$, যা একটি পূর্ণবর্গ রাশি। একইভাবে $-2ab$ যোগ করলেও $(a-b)^2$ পূর্ণবর্গ হয়। অপশনে $2ab$ প্রধান উত্তর হিসেবে গ্রহণযোগ্য।

যেহেতু $a$ একটি জোড় সংখ্যা, তাই এর বর্গ $a^2$ ও একটি জোড় সংখ্যা হবে। যেকোনো জোড় সংখ্যার সাথে ১ যোগ করলে তা সর্বদা বিজোড় সংখ্যায় পরিণত হয়। অতএব, $a^2 + 1$ একটি বিজোড় সংখ্যা।

৪ জন পুরুষ থেকে ৩ জন নির্বাচন করার উপায় $^৪C_৩ = ৪$। ৪ জন মহিলা থেকে ৩ জন নির্বাচন করার উপায় $^৪C_৩ = ৪$। মোট কমিটি গঠনের উপায় = $৪ \times ৪ = ১৬$। (দ্রষ্টব্য: ইমেজের বইটিতে প্রশ্ন ও অপশনে বড়সড় প্রিন্টিং ভুল আছে, কিন্তু ছবিতে সমীকরণ পদ্ধতিতে ভুল করে ৩১৩৬ উত্তর মেলানো হয়েছে। জেসনের নির্ভুলতার স্বার্থে বইয়ের দাগানো উত্তরটিই রাখা হলো)।

ধরি সাধারণ গুণিতক $x$। শর্তমতে, বড় সংখ্যাটি $৬x$ এবং ছোট সংখ্যাটি $৫x$। প্রশ্নানুসারে, $৬x + ৫x = ৫৫ \Rightarrow ১১x = ৫৫ \Rightarrow x = ৫$। অতএব বড় সংখ্যাটি $৬ \times ৫ = ৩০$ এবং ছোট সংখ্যাটি $৫ \times ۵ = ২৫$।